Análisis de los principios de Binius STARKs y reflexiones sobre su optimización

1 Introducción

Una de las principales razones de la baja eficiencia de STARKs es que la mayoría de los valores en programas reales son bastante pequeños, como los índices en bucles for, valores booleanos, contadores, etc. Sin embargo, para garantizar la seguridad de las pruebas basadas en árboles de Merkle, al utilizar codificación de Reed-Solomon para expandir los datos, muchos valores redundantes adicionales ocupan todo el dominio, incluso si el valor original es muy pequeño. Para abordar este problema, reducir el tamaño del dominio se ha convertido en una estrategia clave.

El ancho de codificación de la primera generación de STARKs es de 252 bits, el ancho de codificación de la segunda generación de STARKs es de 64 bits, y el ancho de codificación de la tercera generación de STARKs es de 32 bits, pero el ancho de codificación de 32 bits todavía presenta una gran cantidad de espacio desperdiciado. En comparación, el campo binario permite operar directamente sobre los bits, con una codificación compacta y eficiente sin ningún espacio desperdiciado, es decir, la cuarta generación de STARKs.

En comparación con los campos finitos descubiertos en investigaciones recientes como Goldilocks, BabyBear y Mersenne31, la investigación sobre campos binarios se remonta a la década de 1980. Actualmente, los campos binarios se utilizan ampliamente en criptografía, ejemplos típicos incluyen:

• Estándar de cifrado avanzado (AES), basado en el campo F28;

• Código de autenticación de mensaje Galois ( GMAC ), basado en el campo F2128;

• Código QR, utilizando codificación Reed-Solomon basada en F28;

• Protocolo FRI original y zk-STARK, así como la función hash Grøstl, que llegó a la final de SHA-3, que se basa en el campo F28, es un algoritmo hash muy adecuado para la recursión.

Cuando se utilizan dominios más pequeños, la operación de extensión de dominio se vuelve cada vez más importante para garantizar la seguridad. El dominio binario utilizado por Binius depende completamente de la extensión de dominio para asegurar su seguridad y viabilidad práctica. La mayoría de los polinomios involucrados en los cálculos de Prover no necesitan entrar en la extensión de dominio, sino que operan solo en el campo base, logrando así una alta eficiencia en dominios pequeños. Sin embargo, la verificación de puntos aleatorios y el cálculo de FRI aún necesitan profundizar en una extensión de dominio más grande para garantizar la seguridad requerida.

Al construir un sistema de prueba basado en el dominio binario, existen 2 problemas prácticos: al calcular la representación de la traza en STARKs, el tamaño del dominio utilizado debe ser mayor que el grado del polinomio; al comprometer el Merkle tree en STARKs, se debe realizar la codificación de Reed-Solomon, y el tamaño del dominio utilizado debe ser mayor que el tamaño después de la expansión de la codificación.

Binius propuso una solución innovadora que aborda estos dos problemas de manera separada y representa los mismos datos de dos formas diferentes: primero, utilizando polinomios multivariables (específicamente polinomios multilineales) en lugar de polinomios univariables, representando toda la trayectoria de cálculo a través de sus valores en "hipercubos"; en segundo lugar, dado que la longitud de cada dimensión del hipercubo es 2, no se puede realizar una extensión estándar de Reed-Solomon como en STARKs, pero se puede considerar el hipercubo como un cuadrado, realizando la extensión de Reed-Solomon basada en dicho cuadrado. Este método, al garantizar la seguridad, mejora significativamente la eficiencia de codificación y el rendimiento computacional.

2 Análisis de principios

La construcción de la mayoría de los sistemas SNARKs actualmente generalmente incluye las siguientes dos partes:

• Prueba de Oráculo Interactivo Polinómico de Teoría de la Información (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP, como núcleo de los sistemas de prueba, transforma las relaciones computacionales de entrada en ecuaciones polinómicas verificables. Diferentes protocolos PIOP permiten al probador enviar polinomios de manera gradual a través de la interacción con el validador, de modo que el validador pueda verificar si el cálculo es correcto consultando los resultados de la evaluación de unos pocos polinomios. Los protocolos PIOP existentes incluyen: PIOP PLONK, PIOP Spartan y PIOP HyperPlonk, cada uno de los cuales maneja las expresiones polinómicas de manera diferente, lo que afecta el rendimiento y la eficiencia de todo el sistema SNARK.

• Esquema de Compromiso Polinómico (Polynomial Commitment Scheme, PCS): El esquema de compromiso polinómico se utiliza para demostrar si se cumple la igualdad polinómica generada por PIOP. PCS es una herramienta criptográfica a través de la cual el probador puede comprometerse a un polinomio y luego verificar el resultado de la evaluación de ese polinomio, mientras oculta otra información del polinomio. Los esquemas de compromiso polinómico comunes incluyen KZG, Bulletproofs, FRI (Fast Reed-Solomon IOPP) y Brakedown, entre otros. Diferentes PCS tienen diferentes rendimientos, seguridad y escenarios de aplicación.

Según las necesidades específicas, elige diferentes PIOP y PCS, y combina con un campo finito adecuado o una curva elíptica, se puede construir un sistema de pruebas con diferentes atributos. Por ejemplo:

• Halo2: combina PLONK PIOP y Bulletproofs PCS, y se basa en la curva Pasta. Al diseñar Halo2, se enfatizó la escalabilidad y la eliminación del trusted setup en el protocolo ZCash.

• Plonky2: combina PLONK PIOP y FRI PCS, y se basa en el dominio de Goldilocks. Plonky2 se diseñó para lograr una recursión eficiente. Al diseñar estos sistemas, la PIOP y PCS seleccionadas deben coincidir con el campo finito o la curva elíptica utilizada para garantizar la corrección, el rendimiento y la seguridad del sistema. La elección de estas combinaciones no solo afecta el tamaño de la prueba SNARK y la eficiencia de verificación, sino que también determina si el sistema puede lograr transparencia sin la necesidad de una configuración confiable, y si puede soportar funcionalidades extensibles como pruebas recursivas o pruebas agregadas.

Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + campo binario. En concreto, Binius incluye cinco tecnologías clave para lograr su eficiencia y seguridad. Primero, la aritmética basada en torres de campos binarios constituye la base de su cálculo, permitiendo realizar operaciones simplificadas dentro del campo binario. En segundo lugar, Binius adapta la verificación de productos y permutaciones de HyperPlonk en su protocolo de prueba de Oracle interactivo (PIOP), asegurando una verificación consistente, segura y eficiente entre las variables y sus permutaciones. En tercer lugar, el protocolo introduce una nueva prueba de desplazamiento multilineal, optimizando la eficiencia de la verificación de relaciones multilineales en campos pequeños. Cuarto, Binius utiliza una versión mejorada de la prueba de búsqueda Lasso, proporcionando flexibilidad y una fuerte seguridad al mecanismo de búsqueda. Finalmente, el protocolo utiliza un esquema de compromiso de polinomios de campo pequeño (Small-Field PCS), lo que le permite implementar un sistema de prueba eficiente en el campo binario y reduce los costos generalmente asociados con campos grandes.

2.1 Campo finito: aritmética basada en torres de campos binarios

Los campos binarios en torre son clave para realizar cálculos rápidos y verificables, principalmente debido a dos aspectos: cálculos eficientes y aritmética eficiente. Los campos binarios, en esencia, soportan operaciones aritméticas altamente eficientes, lo que los convierte en una opción ideal para aplicaciones criptográficas sensibles a los requisitos de rendimiento. Además, la estructura del campo binario admite un proceso de aritmética simplificado, es decir, las operaciones realizadas sobre el campo binario pueden expresarse en una forma algebraica compacta y fácil de verificar. Estas características, junto con la capacidad de aprovechar completamente sus propiedades jerárquicas a través de una estructura en torre, hacen que los campos binarios sean especialmente adecuados para sistemas de prueba escalables como Binius.

El término "canónico" se refiere a la representación única y directa de un elemento en el campo binario. Por ejemplo, en el campo binario más básico F2, cualquier cadena de k bits puede mapearse directamente a un elemento de campo binario de k bits. Esto es diferente de los campos primos, que no pueden proporcionar esta representación canónica dentro de un número fijo de bits. Aunque un campo primo de 32 bits puede incluirse en 32 bits, no todas las cadenas de 32 bits pueden corresponder de manera única a un elemento de campo, mientras que el campo binario tiene esta conveniencia de un mapeo uno a uno. En el campo primo Fp, los métodos de reducción comunes incluyen la reducción de Barrett, la reducción de Montgomery, y métodos de reducción especiales para campos finitos específicos como Mersenne-31 o Goldilocks-64. En el campo binario F2k, los métodos de reducción comúnmente utilizados incluyen la reducción especial (como se usa en AES), la reducción de Montgomery (como se usa en POLYVAL) y la reducción recursiva (como Tower). El artículo "Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations" señala que en el campo binario no es necesario introducir acarreo en las operaciones de suma y multiplicación, y que la operación de cuadrado en el campo binario es muy eficiente, ya que sigue la regla simplificada (X + Y )2 = X2 + Y 2.

Como se muestra en la Figura 1, una cadena de 128 bits: esta cadena puede interpretarse de múltiples maneras en el contexto del campo binario. Puede considerarse un elemento único en un campo binario de 128 bits, o puede descomponerse en dos elementos de campo de torre de 64 bits, cuatro elementos de campo de torre de 32 bits, 16 elementos de campo de torre de 8 bits, o 128 elementos del campo F2. Esta flexibilidad en la representación no requiere ningún costo computacional, solo un cambio de tipo (typecast) de la cadena de bits, lo cual es una propiedad muy interesante y útil. Al mismo tiempo, los elementos de campo pequeños se pueden empaquetar en elementos de campo más grandes sin necesidad de costos computacionales adicionales. El protocolo Binius aprovecha esta característica para mejorar la eficiencia computacional. Además, el artículo "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" explora la complejidad computacional de realizar multiplicación, cuadrado y operaciones de inversión en campos de torre binarios de n bits (que pueden descomponerse en subcampos de m bits).

2.2 PIOP: versión adaptada de HyperPlonk Product y PermutationCheck------aplicable al campo binario

El diseño de PIOP en el protocolo Binius se basa en HyperPlonk, utilizando una serie de mecanismos de verificación centrales para validar la corrección de polinomios y conjuntos multivariables. Estos chequeos centrales incluyen:

1. GateCheck: Verifica si el testigo secreto ω y la entrada pública x cumplen con la relación de operación del circuito C(x,ω)=0, para asegurar que el circuito funcione correctamente.

2. PermutationCheck: Verifica si los resultados de evaluación de dos polinomios multivariables f y g en el hipercubo booleano son una relación de permutación f(x) = f(π(x)), para asegurar la consistencia de la permutación entre las variables del polinomio.

3. LookupCheck: Verifica si la evaluación del polinomio está en la tabla de búsqueda dada, es decir, f(Bµ) ⊆ T(Bµ), asegurando que ciertos valores estén dentro del rango especificado.

4. MultisetCheck: verifica si dos conjuntos multivariables son iguales, es decir, {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, garantizando la consistencia entre múltiples conjuntos.

5. ProductCheck: Verifica si la evaluación de un polinomio racional en el hipercubo booleano es igual a un valor declarado ∏x∈Hµ f(x) = s, para asegurar la corrección del producto del polinomio.

6. ZeroCheck: Verifica si un polinomio multivariable en el hipercubo booleano es cero en cualquier punto ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, para asegurar la distribución de los ceros del polinomio.

7. SumCheck: Verifica si la suma de un polinomio multivariante es igual al valor declarado ∑x∈Hµ f(x) = s. Al transformar el problema de evaluación de un polinomio multivariante en la evaluación de un polinomio univariante, se reduce la complejidad computacional del verificador. Además, SumCheck permite el procesamiento por lotes al introducir números aleatorios, construyendo combinaciones lineales para implementar el procesamiento por lotes de múltiples instancias de verificación de sumas.

8. BatchCheck: Basado en SumCheck, verifica la corrección de la evaluación de múltiples polinomios multivariables para mejorar la eficiencia del protocolo.

A pesar de que Binius y HyperPlonk tienen muchas similitudes en el diseño del protocolo, Binius ha realizado mejoras en los siguientes 3 aspectos:

• Optimización de ProductCheck: en HyperPlonk, ProductCheck requiere que el denominador U sea diferente de cero en todo el hipercubo, y el producto debe ser igual a un valor específico; Binius simplifica este proceso de verificación al especializar ese valor a 1, reduciendo así la complejidad computacional.

• Manejo del problema de división por cero: HyperPlonk no pudo manejar adecuadamente los casos de división por cero, lo que llevó a no poder afirmar si U es diferente de cero en el hipercubo; Binius manejó correctamente este problema, incluso en el caso de que el denominador sea cero, el ProductCheck de Binius puede continuar procesando, permitiendo la generalización a cualquier valor de producto.

• Verificación de Permutación de columnas: HyperPlonk no tiene esta función; Binius admite la verificación de permutación entre múltiples columnas, lo que permite a Binius manejar situaciones de permutación polinómica más complejas.

Por lo tanto, Binius ha mejorado el mecanismo existente de PIOPSumCheck, aumentando la flexibilidad y eficiencia del protocolo, especialmente al manejar la verificación de polinomios multivariables más complejos, proporcionando un soporte funcional más robusto. Estas mejoras no solo abordan las limitaciones de HyperPlonk, sino que también establecen una base para futuros sistemas de prueba basados en campos binarios.

2.3 PIOP: nuevo argumento de cambio multilineal------aplicable al hipercubo booleano

En el protocolo Binius, la construcción y el manejo de polinomios virtuales es una de las tecnologías clave, que permite generar y operar de manera efectiva polinomios derivados de un manejador de entrada u otros polinomios virtuales. A continuación se presentan dos métodos clave:

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