Análisis de los principios de Binius STARKs y reflexiones sobre su optimización

1 Introducción

Una de las principales razones de la baja eficiencia de STARKs es que la mayoría de los valores en los programas reales son relativamente pequeños, como los índices en los bucles for, los valores booleanos, los contadores, etc. Sin embargo, para garantizar la seguridad de las pruebas basadas en el árbol de Merkle, al expandir los datos utilizando codificación de Reed-Solomon, muchos valores redundantes adicionales ocupan todo el dominio, incluso cuando el valor original en sí es muy pequeño. Para resolver este problema, reducir el tamaño del dominio se convierte en una estrategia clave.

La primera generación de STARKs tiene un ancho de codificación de 252 bits, la segunda generación de STARKs tiene un ancho de codificación de 64 bits, y la tercera generación de STARKs tiene un ancho de codificación de 32 bits, pero el ancho de codificación de 32 bits todavía presenta una gran cantidad de espacio desperdiciado. En comparación, el campo binario permite operar directamente sobre los bits, con codificación compacta y eficiente sin ningún espacio desperdiciado, es decir, la cuarta generación de STARKs.

En comparación con los campos finitos descubiertos en investigaciones recientes como Goldilocks, BabyBear y Mersenne31, la investigación sobre campos binarios se remonta a la década de 1980. Actualmente, los campos binarios se aplican ampliamente en criptografía, ejemplos típicos incluyen:

• Estándar de cifrado avanzado ( AES ), basado en el dominio F28;

• Código de autenticación de mensajes Galois ( GMAC ), basado en el campo F2128;

• Código QR, utiliza codificación Reed-Solomon basada en F28;

• Protocolo FRI original y zk-STARK, así como la función hash Grøstl, que llegó a la final de SHA-3, basada en el campo F28, es un algoritmo hash muy adecuado para la recursión.

Cuando se utilizan dominios más pequeños, la operación de extensión de dominio se vuelve cada vez más importante para garantizar la seguridad. Y el dominio binario utilizado por Binius depende completamente de la extensión de dominio para garantizar su seguridad y viabilidad práctica. La mayoría de los polinomios involucrados en los cálculos de Prover no necesitan entrar en la extensión de dominio, sino que solo operan en el dominio base, logrando así una alta eficiencia en dominios pequeños. Sin embargo, la verificación de puntos aleatorios y el cálculo FRI aún necesitan profundizar en una extensión de dominio más grande para garantizar la seguridad requerida.

Al construir un sistema de pruebas basado en el dominio binario, existen 2 problemas prácticos: al calcular la representación de trace en STARKs, el tamaño del dominio utilizado debe ser mayor que el grado del polinomio; al comprometer el árbol de Merkle en STARKs, es necesario realizar la codificación de Reed-Solomon, y el tamaño del dominio utilizado debe ser mayor que el tamaño después de la expansión de la codificación.

Binius ha propuesto una solución innovadora que aborda estos dos problemas por separado y representa los mismos datos de dos maneras diferentes: primero, utilizando polinomios multivariables (específicamente polinomios multilineales) en lugar de polinomios univariables, representando toda la trayectoria de cálculo a través de sus valores en "hipercubos"; en segundo lugar, dado que la longitud de cada dimensión del hipercubo es 2, no se puede realizar una expansión estándar de Reed-Solomon como en STARKs, pero se puede considerar el hipercubo como un cuadrado, realizando la expansión de Reed-Solomon basada en ese cuadrado. Este método, al garantizar la seguridad, mejora significativamente la eficiencia de codificación y el rendimiento computacional.

2 Análisis de principios

La mayoría de los sistemas SNARKs actuales suelen incluir las siguientes dos partes:

• Prueba de Oracle Interactiva Polinómica de Teoría de la Información (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP como núcleo del sistema de prueba transforma las relaciones computacionales de entrada en igualdades polinómicas verificables. Diferentes protocolos PIOP permiten al probador enviar gradualmente polinomios a través de la interacción con el verificador, de modo que el verificador pueda validar si el cálculo es correcto consultando los resultados de la evaluación de unos pocos polinomios. Los protocolos PIOP existentes incluyen: PLONK PIOP, Spartan PIOP y HyperPlonk PIOP, cada uno de los cuales tiene diferentes enfoques para el tratamiento de expresiones polinómicas, lo que afecta el rendimiento y la eficiencia de todo el sistema SNARK.

• Esquema de Compromiso Polinómico (Polynomial Commitment Scheme, PCS): El esquema de compromiso polinómico se utiliza para probar si se cumple la igualdad polinómica generada por PIOP. PCS es una herramienta criptográfica que permite al probador comprometerse a un polinomio y luego verificar el resultado de la evaluación de dicho polinomio, mientras oculta otra información del polinomio. Los esquemas de compromiso polinómico comunes incluyen KZG, Bulletproofs, FRI (Fast Reed-Solomon IOPP) y Brakedown, entre otros. Diferentes PCS tienen diferentes rendimientos, niveles de seguridad y escenarios de aplicación.

Según las necesidades específicas, elija diferentes PIOP y PCS, y combine con un campo finito adecuado o una curva elíptica, se puede construir un sistema de pruebas con diferentes atributos. Por ejemplo:

• Halo2: combinando PLONK PIOP y Bulletproofs PCS, basado en la curva Pasta. Halo2 fue diseñado con un enfoque en la escalabilidad y en eliminar el setup confiable del protocolo ZCash.

• Plonky2: utiliza PLONK PIOP combinado con FRI PCS, y se basa en el dominio de Goldilocks. Plonky2 está diseñado para lograr una recursión eficiente. Al diseñar estos sistemas, la PIOP y PCS elegidas deben coincidir con el campo finito o la curva elíptica utilizada para garantizar la corrección, el rendimiento y la seguridad del sistema. La elección de estas combinaciones no solo afecta el tamaño de la prueba SNARK y la eficiencia de la verificación, sino que también determina si el sistema puede lograr transparencia sin necesidad de una configuración confiable, y si puede soportar funciones ampliadas como pruebas recursivas o pruebas agregadas.

Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + campo binario. En concreto, Binius incluye cinco tecnologías clave para lograr su eficiencia y seguridad. Primero, la aritmética basada en torres de campos binarios constituye la base de su computación, permitiendo realizar operaciones simplificadas dentro del campo binario. En segundo lugar, Binius adapta la verificación de productos y permutaciones de HyperPlonk en su protocolo de prueba de Oracle interactivo (PIOP), asegurando una verificación de consistencia segura y eficiente entre las variables y sus permutaciones. En tercer lugar, el protocolo introduce una nueva prueba de desplazamiento multilineal, optimizando la eficiencia de la verificación de relaciones multilineales en pequeños campos. Cuarto, Binius utiliza una versión mejorada de la prueba de búsqueda Lasso, que proporciona flexibilidad y una sólida seguridad para el mecanismo de búsqueda. Finalmente, el protocolo emplea un esquema de compromiso polinómico de pequeños campos (Small-Field PCS), lo que le permite implementar un sistema de prueba eficiente en el campo binario y reduce los gastos generalmente asociados con campos grandes.

2.1 Campo finito: aritmética basada en torres de campos binarios

Los campos binarios en torre son clave para implementar cálculos rápidos y verificables, principalmente debido a dos aspectos: el cálculo eficiente y la aritmética eficiente. Los campos binarios, en esencia, soportan operaciones aritméticas altamente eficientes, lo que los convierte en una elección ideal para aplicaciones criptográficas sensibles a los requisitos de rendimiento. Además, la estructura del campo binario soporta un proceso de aritmética simplificado, es decir, las operaciones realizadas en el campo binario pueden representarse en una forma algebraica compacta y fácil de verificar. Estas características, junto con la capacidad de aprovechar completamente sus características jerárquicas a través de la estructura de torre, hacen que los campos binarios sean particularmente adecuados para sistemas de prueba escalables como Binius.

"canonical" se refiere a la representación única y directa de un elemento en el campo binario. Por ejemplo, en el campo binario más básico F2, cualquier cadena de k bits se puede mapear directamente a un elemento de campo binario de k bits. Esto es diferente del campo primo, que no puede proporcionar esta representación canónica dentro de un número fijo de bits. Aunque un campo primo de 32 bits puede contenerse en 32 bits, no todas las cadenas de 32 bits pueden corresponder de manera única a un elemento del campo, mientras que el campo binario tiene esta conveniencia de un mapeo uno a uno. En el campo primo Fp, los métodos de reducción comunes incluyen la reducción de Barrett, la reducción de Montgomery, y métodos de reducción especiales para campos finitos específicos como Mersenne-31 o Goldilocks-64. En el campo binario F2k, los métodos de reducción comunes incluyen reducciones especiales (como las utilizadas en AES), reducciones de Montgomery (como las utilizadas en POLYVAL) y reducciones recursivas (como Tower). El artículo "Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations" señala que en el campo binario no se necesita introducir acarreo en las operaciones de suma y multiplicación, y que la operación de cuadrado en el campo binario es muy eficiente, ya que sigue la regla simplificada de (X + Y )2 = X2 + Y 2.

Como se muestra en la Figura 1, una cadena de 128 bits: esta cadena se puede interpretar de varias maneras en el contexto de un campo binario. Puede verse como un elemento único en un campo binario de 128 bits, o interpretarse como dos elementos de campo de torre de 64 bits, cuatro elementos de campo de torre de 32 bits, 16 elementos de campo de torre de 8 bits, o 128 elementos de campo F2. Esta flexibilidad de representación no requiere ningún costo computacional, solo una conversión de tipo (typecast) de la cadena de bits, lo cual es una propiedad muy interesante y útil. Al mismo tiempo, los elementos de campo pequeños se pueden empaquetar en elementos de campo más grandes sin necesidad de un costo computacional adicional. El protocolo Binius aprovecha esta característica para mejorar la eficiencia computacional. Además, el artículo "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" explora la complejidad computacional de las operaciones de multiplicación, cuadrado e inversión en un campo binario de torre de n bits (que se puede descomponer en subcampos de m bits).

2.2 PIOP: versión adaptada de HyperPlonk Product y PermutationCheck------aplicable a campos binarios

El diseño de PIOP en el protocolo Binius se basa en HyperPlonk, utilizando una serie de mecanismos de verificación centrales para validar la corrección de polinomios y conjuntos de múltiples variables. Estas verificaciones centrales incluyen:

1. GateCheck: Verifica si el testigo confidencial ω y la entrada pública x cumplen con la relación de operación del circuito C(x,ω)=0, para asegurar que el circuito funcione correctamente.

2. PermutationCheck: Verifica si los resultados de evaluación de dos polinomios multivariables f y g en el hipercubo booleano son una relación de permutación f(x) = f(π(x)), para asegurar la consistencia de las permutaciones entre las variables del polinomio.

3. LookupCheck: Verifica si la evaluación del polinomio está en la tabla de búsqueda dada, es decir, f(Bµ) ⊆ T(Bµ), asegurando que ciertos valores estén dentro del rango especificado.

4. MultisetCheck: Verifica si dos conjuntos multivariables son iguales, es decir, {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, garantizando la consistencia entre múltiples conjuntos.

5. ProductCheck: Verificar si la evaluación de un polinomio racional en el hipercubo booleano es igual a un valor declarado ∏x∈Hµ f(x) = s, para asegurar la corrección del producto polinómico.

6. ZeroCheck: Verificar si un polinomio multivariable en el hipercubo booleano en cualquier punto es cero ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, para asegurar la distribución de los ceros del polinomio.

7. SumCheck: Verificar si la suma de un polinomio multivariable es igual al valor declarado ∑x∈Hµ f(x) = s. Al transformar el problema de evaluación de polinomios multivariables en la evaluación de un polinomio univariante, se reduce la complejidad computacional del verificador. Además, SumCheck permite el procesamiento por lotes, introduciendo números aleatorios para construir combinaciones lineales que permiten el procesamiento por lotes de múltiples instancias de verificación de sumas.

8. BatchCheck: Basado en SumCheck, verifica la corrección de la evaluación de múltiples polinomios multivariables para mejorar la eficiencia del protocolo.

A pesar de que Binius y HyperPlonk tienen muchas similitudes en el diseño del protocolo, Binius ha realizado mejoras en los siguientes 3 aspectos:

• Optimización de ProductCheck: en HyperPlonk, ProductCheck requiere que el denominador U sea no cero en todo el hipercubo, y que el producto sea igual a un valor específico; Binius simplifica este proceso de verificación al especializar ese valor a 1, reduciendo así la complejidad computacional.

• Manejo del problema de división por cero: HyperPlonk no pudo manejar adecuadamente las situaciones de división por cero, lo que llevó a no poder afirmar el problema de no cero de U en el hipercubo; Binius manejó correctamente este problema, incluso en el caso de que el denominador sea cero, el ProductCheck de Binius puede continuar procesando, permitiendo la generalización a cualquier valor de producto.

• Comprobación de permutación de múltiples columnas: HyperPlonk no tiene esta función; Binius admite la comprobación de permutación entre múltiples columnas, lo que permite a Binius manejar situaciones de permutación polinómica más complejas.

Por lo tanto, Binius ha mejorado el mecanismo existente de PIOPSumCheck, aumentando la flexibilidad y eficiencia del protocolo, especialmente al manejar la verificación de polinomios multivariables más complejos, proporcionando un soporte funcional más robusto. Estas mejoras no solo abordan las limitaciones de HyperPlonk, sino que también establecen las bases para futuros sistemas de prueba basados en campos binarios.

2.3 PIOP: nuevo argumento de desplazamiento multilineal ------ aplicable al hipercubo booleano

En el protocolo Binius, la construcción y el manejo de polinomios virtuales es una de las tecnologías clave, capaz de generar y operar de manera efectiva los polinomios derivados de un mango de entrada u otros polinomios virtuales. A continuación, se presentan dos métodos clave:

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