Analisis Prinsip STARKs Binius dan Pemikiran Optimisasi

1 Pendahuluan

Salah satu alasan utama rendahnya efisiensi STARKs adalah: sebagian besar nilai dalam program nyata cukup kecil, seperti indeks dalam loop for, nilai boolean, penghitung, dan sebagainya. Namun, untuk memastikan keamanan bukti berbasis pohon Merkle, saat menggunakan pengkodean Reed-Solomon untuk memperluas data, banyak nilai redundan tambahan akan mengisi seluruh domain, meskipun nilai aslinya sangat kecil. Untuk mengatasi masalah ini, mengurangi ukuran domain menjadi strategi kunci.

Lebar kode STARKs generasi pertama adalah 252bit, lebar kode STARKs generasi kedua adalah 64bit, dan lebar kode STARKs generasi ketiga adalah 32bit, tetapi lebar kode 32bit masih memiliki banyak ruang yang terbuang. Sebagai perbandingan, domain biner memungkinkan operasi langsung pada bit, dengan pengkodean yang ringkas dan efisien tanpa ruang yang terbuang, yaitu STARKs generasi keempat.

Dibandingkan dengan Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 dan penelitian baru-baru ini lainnya yang ditemukan dalam beberapa tahun terakhir, penelitian tentang bidang biner dapat ditelusuri kembali ke tahun 1980-an. Saat ini, bidang biner telah banyak diterapkan dalam kriptografi, contoh tipikalnya termasuk:

• Standar Enkripsi Tingkat Lanjut (AES), berbasis pada domain F28;

• Kode Autentikasi Pesan Galois ( GMAC ), berbasis pada domain F2128;

• QR Code, menggunakan pengkodean Reed-Solomon berbasis F28;

• Protokol FRI asli dan zk-STARK, serta fungsi hash Grøstl yang masuk final SHA-3, yang didasarkan pada domain F28, adalah algoritma hash yang sangat cocok untuk rekursi.

Saat menggunakan bidang yang lebih kecil, operasi perluasan bidang menjadi semakin penting untuk memastikan keamanan. Dan bidang biner yang digunakan oleh Binius sepenuhnya bergantung pada perluasan bidang untuk menjamin keamanan dan kegunaan praktisnya. Sebagian besar polinomial yang terlibat dalam perhitungan Prover tidak perlu masuk ke perluasan bidang, melainkan hanya perlu beroperasi di bawah bidang dasar, sehingga mencapai efisiensi tinggi dalam bidang kecil. Namun, pemeriksaan titik acak dan perhitungan FRI masih perlu mendalami perluasan bidang yang lebih besar untuk memastikan keamanan yang dibutuhkan.

Saat membangun sistem pembuktian berdasarkan bidang biner, terdapat 2 masalah praktis: saat menghitung representasi jejak dalam STARKs, ukuran bidang yang digunakan harus lebih besar dari derajat polinomial; saat melakukan komitmen Merkle tree dalam STARKs, perlu melakukan pengkodean Reed-Solomon, ukuran bidang yang digunakan harus lebih besar dari ukuran setelah perluasan pengkodean.

Binius mengusulkan solusi inovatif yang menangani kedua masalah ini secara terpisah dan mewakili data yang sama dengan dua cara yang berbeda: pertama, menggunakan polinomial multivariat (khususnya polinomial multilinear) sebagai pengganti polinomial univariat, dengan nilai-nilainya pada "super kubus" (hypercubes) untuk mewakili seluruh jejak komputasi; kedua, karena setiap dimensi dari super kubus memiliki panjang 2, maka tidak dapat dilakukan perpanjangan Reed-Solomon standar seperti pada STARKs, tetapi super kubus dapat dipandang sebagai persegi (square), dan perpanjangan Reed-Solomon dapat dilakukan berdasarkan persegi tersebut. Metode ini, sambil memastikan keamanan, secara signifikan meningkatkan efisiensi pengkodean dan kinerja komputasi.

2 Analisis Prinsip

Konstruksi sebagian besar sistem SNARKs saat ini biasanya terdiri dari dua bagian berikut:

• Bukti Oracle Interaktif Polinomial Teori Informasi (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP sebagai inti dari sistem bukti, mengubah hubungan komputasi input menjadi persamaan polinomial yang dapat diverifikasi. Berbagai protokol PIOP memungkinkan pembuktian untuk secara bertahap mengirimkan polinomial melalui interaksi dengan verifikator, sehingga verifikator dapat memverifikasi apakah komputasi benar dengan hanya menanyakan sedikit hasil evaluasi polinomial. Protokol PIOP yang ada termasuk: PLONK PIOP, Spartan PIOP, dan HyperPlonk PIOP, yang masing-masing memiliki cara yang berbeda dalam menangani ekspresi polinomial, yang mempengaruhi kinerja dan efisiensi seluruh sistem SNARK.

• Skema Komitmen Polinomial (Polynomial Commitment Scheme, PCS): Skema komitmen polinomial digunakan untuk membuktikan apakah persamaan polinomial yang dihasilkan oleh PIOP benar. PCS adalah alat kriptografi yang memungkinkan pihak pembuktian untuk mengkomit sebuah polinomial dan kemudian memverifikasi hasil evaluasi polinomial tersebut, sambil menyembunyikan informasi lain tentang polinomial tersebut. Beberapa skema komitmen polinomial yang umum digunakan antara lain KZG, Bulletproofs, FRI (Fast Reed-Solomon IOPP), dan Brakedown. Berbagai PCS memiliki kinerja, keamanan, dan skenario penggunaan yang berbeda.

Berdasarkan kebutuhan spesifik, pilih PIOP dan PCS yang berbeda, dan kombinasikan dengan bidang terbatas atau kurva elips yang sesuai, dapat membangun sistem pembuktian dengan atribut yang berbeda. Contohnya:

• Halo2: Digabungkan dari PLONK PIOP dan Bulletproofs PCS, serta berbasis pada kurva Pasta. Halo2 dirancang dengan fokus pada skalabilitas dan menghilangkan trusted setup dalam protokol ZCash.

• Plonky2: Menggunakan PLONK PIOP dan FRI PCS yang digabungkan, serta berdasarkan domain Goldilocks. Plonky2 dirancang untuk mencapai rekursi yang efisien. Dalam merancang sistem-sistem ini, PIOP dan PCS yang dipilih harus sesuai dengan finite field atau kurva elips yang digunakan, untuk memastikan kebenaran, kinerja, dan keamanan sistem. Pilihan kombinasi ini tidak hanya mempengaruhi ukuran bukti SNARK dan efisiensi verifikasi, tetapi juga menentukan apakah sistem dapat mencapai transparansi tanpa pengaturan tepercaya, dan apakah dapat mendukung fitur ekspansi seperti bukti rekursif atau bukti agregat.

Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + binary field. Secara khusus, Binius mencakup lima teknologi kunci untuk mencapai efisiensi dan keamanan. Pertama, aritmetika berbasis menara bidang biner (towers of binary fields) membentuk dasar perhitungan, yang mampu melakukan operasi yang disederhanakan dalam bidang biner. Kedua, Binius dalam protokol pembuktian Oracle interaktifnya (PIOP) mengadaptasi pemeriksaan produk dan permutasi HyperPlonk, memastikan pemeriksaan konsistensi yang aman dan efisien antara variabel dan permutasi mereka. Ketiga, protokol memperkenalkan pembuktian pergeseran multilinear baru, mengoptimalkan efisiensi verifikasi hubungan multilinear di bidang kecil. Keempat, Binius menggunakan pembuktian pencarian versi yang ditingkatkan Lasso, memberikan fleksibilitas dan keamanan yang kuat untuk mekanisme pencarian. Terakhir, protokol menggunakan skema komitmen polinomial bidang kecil (Small-Field PCS), memungkinkan sistem pembuktian yang efisien di bidang biner, dan mengurangi biaya yang biasanya terkait dengan bidang besar.

2.1 Ruang Terbatas: Aritmetika berdasarkan menara bidang biner

Bidang biner bertingkat adalah kunci untuk mewujudkan perhitungan yang cepat dan dapat diverifikasi, terutama disebabkan oleh dua aspek: perhitungan yang efisien dan aritmetika yang efisien. Bidang biner pada dasarnya mendukung operasi aritmetika yang sangat efisien, menjadikannya pilihan ideal untuk aplikasi kriptografi yang peka terhadap kinerja. Selain itu, struktur bidang biner mendukung proses aritmetika yang disederhanakan, yaitu operasi yang dilakukan di atas bidang biner dapat dinyatakan dalam bentuk aljabar yang ringkas dan mudah diverifikasi. Karakteristik ini, ditambah dengan kemampuan untuk memanfaatkan sepenuhnya karakteristik hierarkis melalui struktur bertingkat, menjadikan bidang biner sangat cocok untuk sistem pembuktian yang dapat diskalakan seperti Binius.

Di mana "canonical" mengacu pada cara representasi yang unik dan langsung dari elemen dalam bidang biner. Misalnya, dalam bidang biner paling dasar F2, string k-bit mana pun dapat langsung dipetakan ke elemen bidang biner k-bit. Ini berbeda dengan bidang prima, yang tidak dapat memberikan representasi standar ini dalam jumlah bit yang ditentukan. Meskipun bidang prima 32-bit dapat mencakup dalam 32-bit, tidak setiap string 32-bit dapat secara unik sesuai dengan elemen bidang, sedangkan bidang biner memiliki kemudahan pemetaan satu-ke-satu ini. Dalam bidang prima Fp, metode reduksi umum termasuk reduksi Barrett, reduksi Montgomery, dan metode reduksi khusus untuk bidang terbatas tertentu seperti Mersenne-31 atau Goldilocks-64. Dalam bidang biner F2k, metode reduksi yang umum digunakan termasuk reduksi khusus (seperti yang digunakan dalam AES), reduksi Montgomery (seperti yang digunakan dalam POLYVAL), dan reduksi rekursif (seperti Tower). Makalah "Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations" menunjukkan bahwa bidang biner tidak perlu memperkenalkan carry dalam operasi penjumlahan dan perkalian, dan operasi kuadrat dalam bidang biner sangat efisien, karena mengikuti aturan penyederhanaan (X + Y )2 = X2 + Y 2.

Seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1, sebuah string 128-bit: string ini dapat diinterpretasikan dalam konteks bidang biner dengan berbagai cara. Ini dapat dianggap sebagai elemen unik dalam bidang biner 128-bit, atau diuraikan menjadi dua elemen bidang tower 64-bit, empat elemen bidang tower 32-bit, enam belas elemen bidang tower 8-bit, atau seratus dua puluh delapan elemen bidang F2. Fleksibilitas representasi ini tidak memerlukan biaya komputasi tambahan, hanya merupakan konversi tipe (typecast) dari string bit, yang merupakan atribut yang sangat menarik dan berguna. Selain itu, elemen bidang kecil dapat dikemas menjadi elemen bidang yang lebih besar tanpa memerlukan biaya komputasi tambahan. Protokol Binius memanfaatkan fitur ini untuk meningkatkan efisiensi perhitungan. Selain itu, makalah "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" membahas kompleksitas komputasi dari operasi perkalian, kuadrat, dan invers dalam bidang biner tower n-bit (yang dapat dipecah menjadi sub-bidang m-bit).

2.2 PIOP: Versi Adaptasi Produk HyperPlonk dan PermutationCheck------Cocok untuk Domain Biner

Desain PIOP dalam protokol Binius mengacu pada HyperPlonk, menggunakan serangkaian mekanisme pemeriksaan inti untuk memverifikasi keakuratan polinomial dan kumpulan multivariat. Mekanisme pemeriksaan inti ini meliputi:

1. GateCheck: Memverifikasi apakah saksi rahasia ω dan input publik x memenuhi hubungan operasi sirkuit C(x, ω)=0, untuk memastikan sirkuit berfungsi dengan benar.

2. PermutationCheck: Memverifikasi apakah hasil evaluasi dua polinomial multivariat f dan g pada hypercube Boolean adalah hubungan permutasi f(x) = f(π(x)), untuk memastikan konsistensi pengaturan antar variabel polinomial.

3. LookupCheck: Memverifikasi apakah evaluasi polinomial berada dalam tabel pencarian yang diberikan, yaitu f(Bµ) ⊆ T(Bµ), memastikan bahwa beberapa nilai berada dalam rentang yang ditentukan.

4. MultisetCheck: Memeriksa apakah dua himpunan multivariat adalah sama, yaitu {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, memastikan konsistensi antar beberapa himpunan.

5. ProductCheck: Memeriksa apakah evaluasi polinomial rasional pada hiperkubus Boolean sama dengan nilai yang dinyatakan tertentu ∏x∈Hµ f(x) = s, untuk memastikan kebenaran produk polinomial.

6. ZeroCheck: Memverifikasi apakah suatu polinomial multivariat pada hypercube Boolean di titik mana pun adalah nol ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, untuk memastikan distribusi titik nol dari polinomial.

7. SumCheck: Memeriksa apakah jumlah dari polinomial multivariat sama dengan nilai yang dinyatakan ∑x∈Hµ f(x) = s. Dengan mengubah masalah evaluasi polinomial multivariat menjadi evaluasi polinomial variabel tunggal, mengurangi kompleksitas perhitungan dari pihak yang memverifikasi. Selain itu, SumCheck juga memungkinkan pemrosesan batch dengan memperkenalkan angka acak, membangun kombinasi linier untuk melakukan pemrosesan batch pada beberapa contoh verifikasi jumlah.

8. BatchCheck: Berdasarkan SumCheck, memverifikasi kebenaran evaluasi beberapa polinomial multivariat untuk meningkatkan efisiensi protokol.

Meskipun Binius dan HyperPlonk memiliki banyak kesamaan dalam desain protokol, Binius telah melakukan perbaikan dalam 3 aspek berikut:

• Optimasi ProductCheck: Dalam HyperPlonk, ProductCheck mengharuskan penyebut U tidak nol di seluruh hypercube, dan produk harus sama dengan nilai tertentu; Binius menyederhanakan proses pemeriksaan ini dengan mengkhususkan nilai tersebut menjadi 1, sehingga mengurangi kompleksitas perhitungan.

• Penanganan masalah pembagian dengan nol: HyperPlonk tidak dapat menangani situasi pembagian dengan nol secara memadai, yang mengakibatkan ketidakmampuan untuk menyatakan bahwa U tidak nol pada hiperkubus; Binius menangani masalah ini dengan benar, bahkan dalam situasi di mana penyebutnya adalah nol, ProductCheck Binius tetap dapat melanjutkan pemrosesan, memungkinkan perluasan ke nilai produk mana pun.

• Pengecekan Permutasi Lintas Kolom: HyperPlonk tidak memiliki fitur ini; Binius mendukung Pengecekan Permutasi di antara beberapa kolom, yang memungkinkan Binius untuk menangani situasi pengaturan polinomial yang lebih kompleks.

Oleh karena itu, Binius meningkatkan fleksibilitas dan efisiensi protokol melalui perbaikan pada mekanisme PIOPSumCheck yang ada, terutama dalam menangani verifikasi polinomial multivariat yang lebih kompleks, memberikan dukungan fungsionalitas yang lebih kuat. Perbaikan ini tidak hanya mengatasi keterbatasan dalam HyperPlonk, tetapi juga meletakkan dasar untuk sistem pembuktian berbasis bidang biner di masa depan.

2.3 PIOP: argumen pergeseran multilinear baru------cocok untuk hypercube boolean

Dalam protokol Binius, konstruksi dan pengolahan polinomial virtual adalah salah satu teknologi kunci yang dapat secara efektif menghasilkan dan mengoperasikan polinomial yang diturunkan dari pegangan input atau polinomial virtual lainnya. Berikut adalah dua metode kunci:

• Pengemasan：