Binius STARKsの原理とその最適化思考の解析

1 はじめに

STARKsの効率が低下する主な理由の一つは、実際のプログラムではほとんどの数値が小さいことです。例えば、forループのインデックス、真偽値、カウンターなどです。しかし、Merkleツリーに基づく証明の安全性を確保するために、Reed-Solomonエンコーディングを使用してデータを拡張する際、多くの追加の冗長値が全体の領域を占有します。たとえ元の値自体が非常に小さくてもです。この問題を解決するために、領域のサイズを小さくすることが重要な戦略となりました。

第1世代STARKsのエンコーディングビット幅は252ビット、第2世代STARKsのエンコーディングビット幅は64ビット、第3世代STARKsのエンコーディングビット幅は32ビットですが、32ビットのエンコーディングビット幅には依然として大量の無駄なスペースがあります。対照的に、バイナリフィールドはビットを直接操作することを可能にし、エンコーディングはコンパクトで効率的であり、無駄なスペースがありません。つまり、第4世代STARKsです。

Goldilocks、BabyBear、Mersenne31など、近年の新しい研究で発見された有限体と比較して、二進数体の研究は1980年代にさかのぼります。現在、二進数体は暗号学に広く応用されており、典型的な例には次のものがあります：

• F28ドメインに基づくAdvanced Encryption Standard (AES)。

• F2128ドメインに基づくガロアメッセージ認証コード(GMAC)。

• QRコード、F28ベースのリード・ソロモン符号を使用；

• オリジナルのFRIおよびzk-STARKプロトコル、そしてSHA-3ファイナルに進出したGrøstlハッシュ関数は、F28体に基づいており、非常に再帰的なハッシュアルゴリズムに適しています。

小さな体を採用する場合、拡張体操作は安全性を確保するためにますます重要です。Biniusが使用する二進法体は、安全性と実用性を保証するために完全に拡張体に依存する必要があります。ほとんどのProver計算で関与する多項式は拡張体に入る必要がなく、基体の下で操作するだけで済むため、小さな体の中で高い効率を実現しています。しかし、ランダムポイントチェックとFRI計算は、必要な安全性を確保するために、より大きな拡張体に深入りする必要があります。

バイナリーフィールドに基づいて証明システムを構築する際、2つの実際的な問題があります：STARKsでトレース表現を計算する際に使用するフィールドのサイズは多項式の次数より大きくする必要があります；STARKsでMerkleツリーをコミットする際、Reed-Solomon符号化を行う必要があり、使用するフィールドのサイズは符号化された後のサイズより大きくする必要があります。

Biniusは、これら二つの問題を別々に処理する革新的な解決策を提案し、同じデータを二つの異なる方法で表現することを実現しました：まず、単変数多項式の代わりに多変数（具体的には多線形）多項式を使用し、その値を「超立方体」（hypercubes）上で表現して計算の軌跡全体を示します。次に、超立方体の各次元の長さは2であるため、STARKsのように標準的なリード・ソロモン拡張を行うことはできませんが、超立方体を正方形（square）と見なし、その正方形に基づいてリード・ソロモン拡張を行うことができます。この方法は、安全性を確保しながら、エンコーディング効率と計算性能を大幅に向上させます。

2 原理分析

現在、大多数SNARKsシステムの構築は通常、以下の2つの部分を含みます:

• 情報理論的多項式対話型オラクル証明（Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP）：PIOPは証明システムの核心として、入力された計算関係を検証可能な多項式等式に変換します。異なるPIOPプロトコルは、検証者との対話を通じて、証明者が段階的に多項式を送信できるようにし、検証者は少数の多項式の評価結果をクエリすることで計算が正しいかどうかを検証できるようにします。既存のPIOPプロトコルには、PLONK PIOP、Spartan PIOP、HyperPlonk PIOPなどがあり、それぞれ多項式表現の処理方法が異なり、全体のSNARKシステムの性能と効率に影響を与えます。

• 多項式コミットメントスキーム（Polynomial Commitment Scheme, PCS）：多項式コミットメントスキームは、PIOPによって生成された多項式等式が成立するかどうかを証明するために使用されます。PCSは、証明者が特定の多項式にコミットし、後でその多項式の評価結果を検証できる暗号学的ツールであり、同時に多項式の他の情報を隠します。一般的な多項式コミットメントスキームには、KZG、Bulletproofs、FRI（Fast Reed-Solomon IOPP）、Brakedownなどがあります。異なるPCSは異なる性能、安全性、適用シーンを持っています。

具体的な要件に応じて、異なる PIOP と PCS を選択し、適切な有限体または楕円曲線と組み合わせることで、異なる特性を持つ証明システムを構築できます。例えば：

• Halo2：PLONK PIOP と Bulletproofs PCS を組み合わせ、Pasta 曲線に基づいています。Halo2 の設計では、スケーラビリティに重点を置き、ZCash プロトコルの trusted setup を排除しています。

• Plonky2：PLONK PIOPとFRI PCSを組み合わせ、Goldilocks領域に基づいています。Plonky2は高効率の再帰を実現するために設計されています。これらのシステムを設計する際に選択するPIOPとPCSは、使用する有限体または楕円曲線と一致させる必要があり、これによりシステムの正確性、性能、安全性が確保されます。これらの組み合わせの選択は、SNARKの証明サイズと検証効率に影響を与えるだけでなく、システムが信頼できるセットアップなしで透明性を実現できるか、再帰証明や集約証明などの拡張機能をサポートできるかどうかを決定します。

Binius:HyperPlonk PIOP +ブレーキダウンPCS +バイナリドメイン。 具体的には、Biniusには、その効率性と安全性を実現するための5つの主要技術が含まれています。 まず第一に、バイナリフィールドのタワーに基づく算術がその計算の基礎を形成し、バイナリフィールドでの単純化された演算を実現できます。 次に、Biniusは、インタラクティブなOracle Proof Protocol(PIOP)で、HyperPlonk製品と順列チェックを適応させて、変数とその順列との間の安全で効率的な一貫性チェックを確保しました。 第 3 に、このプロトコルでは、小さなドメインでのマルチリニア関係の検証効率を最適化するために、新しいマルチリニア シフト引数が導入されています。 第 4 に、Binius は Lasso ルックアップ引数の改良版を採用しており、ルックアップ メカニズムに柔軟性と強力なセキュリティを提供します。 最後に、このプロトコルはスモールフィールド多項式コミットメントスキーム(スモールフィールドPCS)を使用しているため、バイナリドメインに効率的な証明システムを実装し、大規模なドメインに通常関連するオーバーヘッドを削減できます。

2.1 有限体:二値体の塔に基づく算術

タワー型二進法体は、高速かつ検証可能な計算を実現するための鍵であり、主に二つの側面に起因しています：効率的な計算と効率的な算術化です。二進法体は本質的に非常に効率的な算術操作をサポートしており、性能要求に敏感な暗号学的アプリケーションにとって理想的な選択肢となります。さらに、二進法体の構造は簡略化された算術化プロセスをサポートしており、つまり二進法体上で実行される演算はコンパクトで検証しやすい代数形式で表現できます。これらの特性に加え、タワー構造を通じてその階層的な特性を十分に活用できるため、二進法体はBiniusのようなスケーラブルな証明システムに特に適しています。

"canonical"は、二進数体における要素の唯一かつ直接的な表現方法を指します。例えば、最も基本的な二進数体F2では、任意のkビットの文字列は直接kビットの二進数体要素にマッピングできます。これは素数体とは異なり、素数体は指定されたビット数内でこのような標準的な表現を提供することができません。32ビットの素数体は32ビット内に含めることができますが、すべての32ビットの文字列が一意に体要素に対応するわけではなく、二進数体はこの一対一のマッピングの便利さを備えています。素数体Fpでは、一般的な簡約方法にはBarrett簡約、Montgomery簡約、およびMersenne-31やGoldilocks-64などの特定の有限体に対する特殊な簡約方法が含まれます。二進数体F2kでは、一般的な簡約方法には特殊簡約（AESで使用）、Montgomery簡約（POLYVALで使用）、および再帰的簡約（Tower）があります。論文《Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations》では、二進数体では加算と乗算の操作においてキャリーを導入する必要がなく、二進数体の平方演算は非常に効率的であることが指摘されています。なぜなら、(X + Y )2 = X2 + Y 2の簡略化されたルールに従うからです。

図1に示すように、128ビットの文字列：この文字列は、バイナリフィールドの文脈でさまざまな方法で解釈できます。128ビットのバイナリフィールド内のユニークな要素として見ることもできますし、2つの64ビットタワーフィールド要素、4つの32ビットタワーフィールド要素、16の8ビットタワーフィールド要素、または128のF2フィールド要素として解析することもできます。この表現の柔軟性は、計算オーバーヘッドを必要とせず、単にビット文字列の型変換（typecast）であるため、非常に興味深く便利な特性です。また、小さなフィールド要素は、追加の計算オーバーヘッドなしにより大きなフィールド要素にパッケージ化できます。Biniusプロトコルは、この特性を利用して計算効率を向上させています。さらに、論文「On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two」では、nビットタワー型バイナリフィールド（mビットサブフィールドに分解可能）における乗算、平方、および逆演算の計算複雑性について探討されています。

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2.2 PIOP: バイナリドメイン用の適応 HyperPlonk プロダクトと PermutationCheck ------

BiniusプロトコルのPIOP設計はHyperPlonkを参考にし、一連のコアチェックメカニズムを採用して多項式と多変数集合の正確性を検証します。これらのコアチェックには：

1. GateCheck：秘密証明ωと公開入力xが回路演算関係C(x,ω)=0を満たしているかを検証し、回路が正しく動作することを確認します。

2. PermutationCheck:ブールハイパーキューブ上の2つの多変量多項式fとgの評価結果が順列関係であることを確認しますf(x) = 多項式変数間の配置の一貫性を確保するためのf(π(x))。

3. LookupCheck：多項式の評価が指定されたルックアップテーブルに存在するかどうかを検証します。つまり、f(Bµ) ⊆ T(Bµ)であり、特定の値が指定された範囲内にあることを確認します。

4. MultisetCheck：2つの多変数集合が等しいかどうかをチェックします。すなわち、{(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈Hであり、複数の集合間の一貫性を保証します。

5. ProductCheck：有理多項式がブール超立方体上での評価が某声明された値∏x∈Hµ f(x) = s に等しいかどうかを検査し、多項式の積の正しさを確認します。

6. ZeroCheck：任意の点がブール超立方体上でゼロであるかどうかを検証する多変数多項式∏x∈Hµ f(x) = 0,∀x ∈ Bµ、これにより多項式のゼロ点分布を保証します。

7. SumCheck：多変数多項式の合計値が宣言された値∑x∈Hµ f(x) = sであるかどうかを検出します。多変数多項式の評価問題を単変数多項式の評価に変換することで、検証者の計算の複雑さを軽減します。さらに、SumCheckはランダム数を導入することによって、複数の和の検証インスタンスをバッチ処理することを可能にします。

8. BatchCheck:SumCheckに基づいて、複数の多変量多項式評価の正確性を検証し、プロトコールの効率を向上させます。

BiniusはHyperPlonkとプロトコル設計において多くの類似点がありますが、Biniusは以下の3つの点で改善を行いました：

• ProductCheckの最適化：HyperPlonkでは、ProductCheckは分母Uが超立方体上で常に非ゼロであることを要求し、積は特定の値に等しくなければなりません；Biniusはこの値を1に特化させることで、このチェックプロセスを簡素化し、計算の複雑さを低減しました。

• ゼロ除算の処理：HyperPlonkはゼロの場合を十分に処理できず、超立方体上でのUの非ゼロ問題を断言できませんでした；Biniusはこの問題を正しく処理し、分母がゼロの状況でもBiniusのProductCheckは処理を続け、任意の積値への拡張を許可します。

• 列間PermutationCheck：HyperPlonkにはこの機能がありません；Biniusは複数の列間でPermutationCheckをサポートしており、これによりBiniusはより複雑な多項式の排列状況を処理できるようになります。

そのため、Biniusは既存のPIOPSumCheckメカニズムを改善することによって、プロトコルの柔軟性と効率を向上させ、特により複雑な多変数多項式検証を処理する際に、より強力な機能サポートを提供しました。これらの改善は、HyperPlonkの限界を解決するだけでなく、将来のバイナリーフィールドに基づく証明システムの基盤を築くものです。

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2.3 PIOP：新しいマルチラインシフト引数------ブールハイパーキューブに適用

Biniusプロトコルにおいて、仮想多項式の構築と処理は重要な技術の一つであり、入力ハンドルや他の仮想多項式から派生した多項式を効果的に生成および操作することができます。以下は二つの重要な方法です：

• パッキング：