Phân tích nguyên lý Binius STARKs và những suy nghĩ tối ưu hóa
1 Giới thiệu
Một trong những lý do chính gây ra hiệu suất thấp của STARKs là: hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều khá nhỏ, chẳng hạn như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị đúng sai, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, việc sử dụng mã hóa Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu sẽ tạo ra nhiều giá trị dư thừa bổ sung chiếm toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền trở thành chiến lược then chốt.
Độ rộng mã của STARKs thế hệ 1 là 252bit, độ rộng mã của STARKs thế hệ 2 là 64bit, và độ rộng mã của STARKs thế hệ 3 là 32bit, nhưng độ rộng mã 32bit vẫn còn nhiều không gian lãng phí. So với điều này, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên các bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ 4.
So với Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 và một số nghiên cứu mới trong những năm gần đây về trường hữu hạn, nghiên cứu về trường nhị phân có thể truy ngược lại từ những năm 80 của thế kỷ trước. Hiện tại, trường nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong mật mã học, ví dụ điển hình bao gồm:
Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao (AES), dựa trên miền F28;
Mã xác thực tin nhắn Galois ( GMAC ), dựa trên miền F2128;
QR code, sử dụng mã hóa Reed-Solomon dựa trên F28;
Giao thức FRI ban đầu và zk-STARK, cũng như hàm băm Grøstl vào vòng chung kết SHA-3, hàm này dựa trên miền F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho đệ quy.
Khi sử dụng các miền nhỏ hơn, thao tác mở rộng miền ngày càng quan trọng để đảm bảo tính bảo mật. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo tính bảo mật và tính khả dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong tính toán Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động trong miền cơ bản, do đó đạt được hiệu quả cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần phải đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo tính bảo mật cần thiết.
Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tiễn: Khi tính toán biểu diễn trace trong STARKs, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã.
Binius đã đưa ra một giải pháp đổi mới, xử lý hai vấn đề này một cách riêng biệt và thực hiện bằng cách biểu diễn cùng một dữ liệu theo hai cách khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa thức đa biến (cụ thể là đa thức bậc nhiều) thay thế cho đa thức bậc một, thông qua giá trị của nó trên "siêu lập phương" (hypercubes) để biểu diễn toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, vì mỗi chiều của siêu lập phương có chiều dài bằng 2, nên không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon tiêu chuẩn như STARKs, nhưng có thể coi siêu lập phương như một hình vuông (square) và thực hiện mở rộng Reed-Solomon dựa trên hình vuông đó. Phương pháp này đảm bảo tính an toàn trong khi nâng cao đáng kể hiệu quả mã hóa và hiệu suất tính toán.
2 Phân tích nguyên lý
Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs được xây dựng thường bao gồm hai phần sau:
Bằng chứng Oracle tương tác đa thức lý thuyết thông tin (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP là cốt lõi của hệ thống chứng minh, chuyển đổi quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau cho phép người chứng minh gửi từng bước các đa thức thông qua sự tương tác với người xác minh, giúp người xác minh có thể xác minh tính chính xác của phép tính bằng cách truy vấn kết quả đánh giá của một lượng nhỏ đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi giao thức có cách xử lý biểu thức đa thức khác nhau, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.
Chương trình cam kết đa thức (Polynomial Commitment Scheme, PCS): Chương trình cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh xem các phương trình đa thức được tạo ra từ PIOP có hợp lệ hay không. PCS là một công cụ mật mã, thông qua đó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn đi các thông tin khác của đa thức. Một số chương trình cam kết đa thức phổ biến có KZG, Bulletproofs, FRI (Fast Reed-Solomon IOPP) và Brakedown. Các PCS khác nhau có hiệu suất, tính bảo mật và các trường hợp sử dụng khác nhau.
Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elip phù hợp, có thể xây dựng hệ thống chứng minh với các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:
• Halo2: Kết hợp giữa PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Halo2 được thiết kế với sự chú trọng vào khả năng mở rộng và loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.
• Plonky2: Kết hợp PLONK PIOP với FRI PCS và dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để thực hiện tái hiện hiệu quả. Khi thiết kế các hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải phù hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elip được sử dụng, để đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và độ an toàn của hệ thống. Sự lựa chọn của những kết hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh SNARK và hiệu quả xác minh, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập đáng tin cậy hay không, và liệu nó có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh tái hiện hoặc chứng minh tổng hợp hay không.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ chính để đạt được hiệu suất và an toàn cao. Đầu tiên, các phép toán dựa trên miền nhị phân dạng tháp (towers of binary fields) đã tạo thành nền tảng cho các phép tính của nó, cho phép thực hiện các phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius đã điều chỉnh kiểm tra sản phẩm và hoán vị HyperPlonk trong giao thức chứng minh Oracle tương tác (PIOP) của mình, đảm bảo kiểm tra tính nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức đã giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu quả việc xác minh các mối quan hệ đa tuyến trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius đã sử dụng chứng minh tìm kiếm Lasso cải tiến, cung cấp sự linh hoạt và an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng phương án cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó thực hiện hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến miền lớn.
2.1 trường hữu hạn: toán tử hóa dựa trên tháp của các trường nhị phân
Trường nhị phân dạng tháp là chìa khóa để thực hiện các phép toán tính toán nhanh có thể xác minh, chủ yếu do hai khía cạnh: tính toán hiệu quả và số học hiệu quả. Trường nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán số học rất hiệu quả, khiến nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu về hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc trường nhị phân hỗ trợ quy trình số học đơn giản hóa, tức là các phép toán thực hiện trên trường nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số gọn gàng và dễ xác minh. Những đặc điểm này, cùng với khả năng tận dụng tối đa các đặc tính phân cấp thông qua cấu trúc tháp, khiến trường nhị phân đặc biệt phù hợp với các hệ thống chứng minh có thể mở rộng như Binius.
Trong đó, "canonical" đề cập đến cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong miền nhị phân. Ví dụ, trong miền nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào cũng có thể được ánh xạ trực tiếp đến một phần tử miền nhị phân k bit. Điều này khác với miền số nguyên tố, miền số nguyên tố không thể cung cấp cách biểu diễn quy chuẩn này trong một số lượng bit nhất định. Mặc dù miền số nguyên tố 32 bit có thể được chứa trong 32 bit, nhưng không phải mọi chuỗi 32 bit đều có thể tương ứng duy nhất với một phần tử miền, trong khi miền nhị phân lại có sự tiện lợi của ánh xạ một-một này. Trong miền số nguyên tố Fp, các phương pháp thu nhỏ phổ biến bao gồm thu nhỏ Barrett, thu nhỏ Montgomery, và các phương pháp thu nhỏ đặc biệt cho các miền hữu hạn nhất định như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong miền nhị phân F2k, các phương pháp thu nhỏ thường dùng bao gồm thu nhỏ đặc biệt (như trong AES), thu nhỏ Montgomery (như trong POLYVAL), và thu nhỏ đệ quy (như Tower). Bài báo "Khám Phá Không Gian Thiết Kế của ECC-Hardware Triển Khai Miền Số Nguyên Tố So Với Miền Nhị Phân" chỉ ra rằng miền nhị phân không cần phải đưa vào carry trong các phép toán cộng và nhân, và phép toán bình phương trong miền nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc đơn giản (X + Y )2 = X2 + Y 2.
Như hình 1 cho thấy, một chuỗi dài 128 bit: Chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một yếu tố độc nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai yếu tố miền tháp 64 bit, bốn yếu tố miền tháp 32 bit, 16 yếu tố miền tháp 8 bit, hoặc 128 yếu tố miền F2. Tính linh hoạt trong biểu diễn này không yêu cầu bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là một chuyển đổi kiểu của chuỗi bit, là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các yếu tố miền nhỏ có thể được đóng gói thành các yếu tố miền lớn hơn mà không cần thêm chi phí tính toán. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để cải thiện hiệu quả tính toán. Hơn nữa, bài báo "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" đã khám phá độ phức tạp tính toán của phép nhân, bình phương và phép đảo trong miền nhị phân tháp n bit (có thể phân tích thành miền con m bit).
2.2 PIOP: Phiên bản chỉnh sửa của sản phẩm HyperPlonk và Kiểm tra Permutation------Áp dụng cho lĩnh vực nhị phân
Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, sử dụng một loạt các cơ chế kiểm tra cốt lõi, nhằm xác minh tính đúng đắn của đa thức và tập hợp đa biến. Những kiểm tra cốt lõi này bao gồm:
GateCheck: Xác minh chứng từ bí mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ toán tử mạch C(x,ω)=0, để đảm bảo mạch hoạt động chính xác.
PermutationCheck: Xác thực kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên khối siêu Boolean có phải là quan hệ hoán vị không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán của sự sắp xếp giữa các biến đa thức.
LookupCheck: Xác minh xem giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong khoảng đã chỉ định.
MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.
ProductCheck: Kiểm tra xem giá trị của đa thức hợp lý trên siêu lập phương Boolean có bằng một giá trị tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.
ZeroCheck: Xác minh một đa biến đa thức tại bất kỳ điểm nào trên hypercube Boolean có bằng 0 không ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố các điểm không của đa thức.
SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức đa biến có bằng giá trị đã khai báo hay không ∑x∈Hµ f(x) = s. Bằng cách chuyển đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Hơn nữa, SumCheck còn cho phép xử lý theo lô, thông qua việc giới thiệu số ngẫu nhiên, xây dựng tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý nhiều trường hợp kiểm tra tổng.
BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính chính xác của nhiều giá trị đa biến đa thức để nâng cao hiệu quả của giao thức.
Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải tiến ở 3 khía cạnh sau:
Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U không được bằng 0 trên siêu lập phương, và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đã đơn giản hóa quy trình kiểm tra này bằng cách đặc hóa giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.
Xử lý vấn đề chia cho không: HyperPlonk không xử lý đầy đủ tình huống chia cho không, dẫn đến việc không thể khẳng định U trên siêu khối không bằng không; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả khi mẫu số bằng không, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích nào.
Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này cho phép Binius xử lý các trường hợp sắp xếp đa thức phức tạp hơn.
Do đó, Binius đã cải tiến cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt là trong việc xử lý các xác minh đa biến đa thức phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết được những hạn chế trong HyperPlonk mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên trường nhị phân trong tương lai.
2.3 PIOP: lập luận dịch chuyển nhiều dòng mới------áp dụng cho hypercube boolean
Trong giao thức Binius, việc xây dựng và xử lý đa thức ảo là một trong những công nghệ then chốt, có khả năng tạo ra và thao tác hiệu quả các đa thức phát sinh từ tay cầm đầu vào hoặc các đa thức ảo khác. Dưới đây là hai phương pháp chính:
Đóng gói：
Xem bản gốc
Trang này có thể chứa nội dung của bên thứ ba, được cung cấp chỉ nhằm mục đích thông tin (không phải là tuyên bố/bảo đảm) và không được coi là sự chứng thực cho quan điểm của Gate hoặc là lời khuyên về tài chính hoặc chuyên môn. Xem Tuyên bố từ chối trách nhiệm để biết chi tiết.
Binius STARKs: Hệ thống chứng minh không kiến thức hiệu quả dựa trên miền nhị phân
Phân tích nguyên lý Binius STARKs và những suy nghĩ tối ưu hóa
1 Giới thiệu
Một trong những lý do chính gây ra hiệu suất thấp của STARKs là: hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều khá nhỏ, chẳng hạn như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị đúng sai, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, việc sử dụng mã hóa Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu sẽ tạo ra nhiều giá trị dư thừa bổ sung chiếm toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền trở thành chiến lược then chốt.
Độ rộng mã của STARKs thế hệ 1 là 252bit, độ rộng mã của STARKs thế hệ 2 là 64bit, và độ rộng mã của STARKs thế hệ 3 là 32bit, nhưng độ rộng mã 32bit vẫn còn nhiều không gian lãng phí. So với điều này, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên các bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ 4.
So với Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 và một số nghiên cứu mới trong những năm gần đây về trường hữu hạn, nghiên cứu về trường nhị phân có thể truy ngược lại từ những năm 80 của thế kỷ trước. Hiện tại, trường nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong mật mã học, ví dụ điển hình bao gồm:
Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao (AES), dựa trên miền F28;
Mã xác thực tin nhắn Galois ( GMAC ), dựa trên miền F2128;
QR code, sử dụng mã hóa Reed-Solomon dựa trên F28;
Giao thức FRI ban đầu và zk-STARK, cũng như hàm băm Grøstl vào vòng chung kết SHA-3, hàm này dựa trên miền F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho đệ quy.
Khi sử dụng các miền nhỏ hơn, thao tác mở rộng miền ngày càng quan trọng để đảm bảo tính bảo mật. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo tính bảo mật và tính khả dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong tính toán Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động trong miền cơ bản, do đó đạt được hiệu quả cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần phải đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo tính bảo mật cần thiết.
Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tiễn: Khi tính toán biểu diễn trace trong STARKs, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã.
Binius đã đưa ra một giải pháp đổi mới, xử lý hai vấn đề này một cách riêng biệt và thực hiện bằng cách biểu diễn cùng một dữ liệu theo hai cách khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa thức đa biến (cụ thể là đa thức bậc nhiều) thay thế cho đa thức bậc một, thông qua giá trị của nó trên "siêu lập phương" (hypercubes) để biểu diễn toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, vì mỗi chiều của siêu lập phương có chiều dài bằng 2, nên không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon tiêu chuẩn như STARKs, nhưng có thể coi siêu lập phương như một hình vuông (square) và thực hiện mở rộng Reed-Solomon dựa trên hình vuông đó. Phương pháp này đảm bảo tính an toàn trong khi nâng cao đáng kể hiệu quả mã hóa và hiệu suất tính toán.
2 Phân tích nguyên lý
Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs được xây dựng thường bao gồm hai phần sau:
Bằng chứng Oracle tương tác đa thức lý thuyết thông tin (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP là cốt lõi của hệ thống chứng minh, chuyển đổi quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau cho phép người chứng minh gửi từng bước các đa thức thông qua sự tương tác với người xác minh, giúp người xác minh có thể xác minh tính chính xác của phép tính bằng cách truy vấn kết quả đánh giá của một lượng nhỏ đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi giao thức có cách xử lý biểu thức đa thức khác nhau, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.
Chương trình cam kết đa thức (Polynomial Commitment Scheme, PCS): Chương trình cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh xem các phương trình đa thức được tạo ra từ PIOP có hợp lệ hay không. PCS là một công cụ mật mã, thông qua đó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn đi các thông tin khác của đa thức. Một số chương trình cam kết đa thức phổ biến có KZG, Bulletproofs, FRI (Fast Reed-Solomon IOPP) và Brakedown. Các PCS khác nhau có hiệu suất, tính bảo mật và các trường hợp sử dụng khác nhau.
Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elip phù hợp, có thể xây dựng hệ thống chứng minh với các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:
• Halo2: Kết hợp giữa PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Halo2 được thiết kế với sự chú trọng vào khả năng mở rộng và loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.
• Plonky2: Kết hợp PLONK PIOP với FRI PCS và dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để thực hiện tái hiện hiệu quả. Khi thiết kế các hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải phù hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elip được sử dụng, để đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và độ an toàn của hệ thống. Sự lựa chọn của những kết hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh SNARK và hiệu quả xác minh, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập đáng tin cậy hay không, và liệu nó có thể hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh tái hiện hoặc chứng minh tổng hợp hay không.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ chính để đạt được hiệu suất và an toàn cao. Đầu tiên, các phép toán dựa trên miền nhị phân dạng tháp (towers of binary fields) đã tạo thành nền tảng cho các phép tính của nó, cho phép thực hiện các phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius đã điều chỉnh kiểm tra sản phẩm và hoán vị HyperPlonk trong giao thức chứng minh Oracle tương tác (PIOP) của mình, đảm bảo kiểm tra tính nhất quán an toàn và hiệu quả giữa các biến và hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức đã giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu quả việc xác minh các mối quan hệ đa tuyến trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius đã sử dụng chứng minh tìm kiếm Lasso cải tiến, cung cấp sự linh hoạt và an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng phương án cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó thực hiện hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến miền lớn.
2.1 trường hữu hạn: toán tử hóa dựa trên tháp của các trường nhị phân
Trường nhị phân dạng tháp là chìa khóa để thực hiện các phép toán tính toán nhanh có thể xác minh, chủ yếu do hai khía cạnh: tính toán hiệu quả và số học hiệu quả. Trường nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán số học rất hiệu quả, khiến nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu về hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc trường nhị phân hỗ trợ quy trình số học đơn giản hóa, tức là các phép toán thực hiện trên trường nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số gọn gàng và dễ xác minh. Những đặc điểm này, cùng với khả năng tận dụng tối đa các đặc tính phân cấp thông qua cấu trúc tháp, khiến trường nhị phân đặc biệt phù hợp với các hệ thống chứng minh có thể mở rộng như Binius.
Trong đó, "canonical" đề cập đến cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong miền nhị phân. Ví dụ, trong miền nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào cũng có thể được ánh xạ trực tiếp đến một phần tử miền nhị phân k bit. Điều này khác với miền số nguyên tố, miền số nguyên tố không thể cung cấp cách biểu diễn quy chuẩn này trong một số lượng bit nhất định. Mặc dù miền số nguyên tố 32 bit có thể được chứa trong 32 bit, nhưng không phải mọi chuỗi 32 bit đều có thể tương ứng duy nhất với một phần tử miền, trong khi miền nhị phân lại có sự tiện lợi của ánh xạ một-một này. Trong miền số nguyên tố Fp, các phương pháp thu nhỏ phổ biến bao gồm thu nhỏ Barrett, thu nhỏ Montgomery, và các phương pháp thu nhỏ đặc biệt cho các miền hữu hạn nhất định như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong miền nhị phân F2k, các phương pháp thu nhỏ thường dùng bao gồm thu nhỏ đặc biệt (như trong AES), thu nhỏ Montgomery (như trong POLYVAL), và thu nhỏ đệ quy (như Tower). Bài báo "Khám Phá Không Gian Thiết Kế của ECC-Hardware Triển Khai Miền Số Nguyên Tố So Với Miền Nhị Phân" chỉ ra rằng miền nhị phân không cần phải đưa vào carry trong các phép toán cộng và nhân, và phép toán bình phương trong miền nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc đơn giản (X + Y )2 = X2 + Y 2.
Như hình 1 cho thấy, một chuỗi dài 128 bit: Chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một yếu tố độc nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai yếu tố miền tháp 64 bit, bốn yếu tố miền tháp 32 bit, 16 yếu tố miền tháp 8 bit, hoặc 128 yếu tố miền F2. Tính linh hoạt trong biểu diễn này không yêu cầu bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là một chuyển đổi kiểu của chuỗi bit, là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các yếu tố miền nhỏ có thể được đóng gói thành các yếu tố miền lớn hơn mà không cần thêm chi phí tính toán. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để cải thiện hiệu quả tính toán. Hơn nữa, bài báo "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" đã khám phá độ phức tạp tính toán của phép nhân, bình phương và phép đảo trong miền nhị phân tháp n bit (có thể phân tích thành miền con m bit).
2.2 PIOP: Phiên bản chỉnh sửa của sản phẩm HyperPlonk và Kiểm tra Permutation------Áp dụng cho lĩnh vực nhị phân
Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, sử dụng một loạt các cơ chế kiểm tra cốt lõi, nhằm xác minh tính đúng đắn của đa thức và tập hợp đa biến. Những kiểm tra cốt lõi này bao gồm:
GateCheck: Xác minh chứng từ bí mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ toán tử mạch C(x,ω)=0, để đảm bảo mạch hoạt động chính xác.
PermutationCheck: Xác thực kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên khối siêu Boolean có phải là quan hệ hoán vị không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán của sự sắp xếp giữa các biến đa thức.
LookupCheck: Xác minh xem giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong khoảng đã chỉ định.
MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.
ProductCheck: Kiểm tra xem giá trị của đa thức hợp lý trên siêu lập phương Boolean có bằng một giá trị tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.
ZeroCheck: Xác minh một đa biến đa thức tại bất kỳ điểm nào trên hypercube Boolean có bằng 0 không ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố các điểm không của đa thức.
SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức đa biến có bằng giá trị đã khai báo hay không ∑x∈Hµ f(x) = s. Bằng cách chuyển đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Hơn nữa, SumCheck còn cho phép xử lý theo lô, thông qua việc giới thiệu số ngẫu nhiên, xây dựng tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý nhiều trường hợp kiểm tra tổng.
BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính chính xác của nhiều giá trị đa biến đa thức để nâng cao hiệu quả của giao thức.
Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải tiến ở 3 khía cạnh sau:
Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U không được bằng 0 trên siêu lập phương, và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đã đơn giản hóa quy trình kiểm tra này bằng cách đặc hóa giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.
Xử lý vấn đề chia cho không: HyperPlonk không xử lý đầy đủ tình huống chia cho không, dẫn đến việc không thể khẳng định U trên siêu khối không bằng không; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả khi mẫu số bằng không, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích nào.
Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này cho phép Binius xử lý các trường hợp sắp xếp đa thức phức tạp hơn.
Do đó, Binius đã cải tiến cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt là trong việc xử lý các xác minh đa biến đa thức phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết được những hạn chế trong HyperPlonk mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên trường nhị phân trong tương lai.
2.3 PIOP: lập luận dịch chuyển nhiều dòng mới------áp dụng cho hypercube boolean
Trong giao thức Binius, việc xây dựng và xử lý đa thức ảo là một trong những công nghệ then chốt, có khả năng tạo ra và thao tác hiệu quả các đa thức phát sinh từ tay cầm đầu vào hoặc các đa thức ảo khác. Dưới đây là hai phương pháp chính: